С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.4. Приложения сингулярного разложения 257Получается, что для вычисления решения мы должны умножить векторправой части на ортогональную матрицу, затем разделить компонентырезультата на сингулярные числа и, наконец, ещё раз умножитьполучившийся вектор на другую ортогональную матрицу. Вычислительнойработы здесь существенно больше, чем при реализации, к примеру,метода исключения Гаусса (см. §3.6б) или других прямых методоврешения СЛАУ, особенно с учётом того, что сингулярное разложениематрицы системы нужно ещё найти. Но описанный путь безупречен свычислительной точки зрения, так как позволяет без накопления ошибокнайти решение системы и, кроме того, проанализировать состояниееё разрешимости.Напомним, что с геометрической точки зрения преобразования, осуществляемыеортогональными матрицами, являются обобщениями поворотови отражений: они сохраняют длины и углы. Поэтому в вычислительномотношении умножения на ортогональные матрицы обладаюточень хорошими свойствами, так как не увеличивают ошибококруглений и других погрешностей. Ниже в §3.5б мы взглянём на этотфакт с другой стороны. Отличие в поведении и результатах методаГаусса и метода, основанного на сингулярном разложении, особеннозримо в случае, когда матрица системы «почти особенна».3.4в Малоранговые приближения матрицыПусть A — m × n-матрица, u k и v k — это её k-ые нормированныелевый и правый сингулярные векторы, а Υ k обозначает их внешнеепроизведение, т. е.Υ k = u k v ∗ k. (3.35)Отметим, что Υ k — m×n-матрица ранга 1. Тогда сингулярное разложение(3.12) матрицы A равносильно её представлению в виде суммыn∑A = σ k Υ k ,k=1где σ i , i = 1,2,...,min{m,n}, — сингулярные числа матрицы A. Еслиσ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ n , и мы «обрубаем» выписанную сумму после p-гослагаемого, то получающаяся матрица называется p-ранговым приближениемданной матрицы:p∑A p = σ k Υ k , (3.36)k=1