С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

384 3. Численные методы линейной алгебрыОно показывает, что компоненты очередного приближения отличаютсяот компонент точного решения не более, чем компоненты приближенийдруг от друга.Запустив итерации Гаусса-Зейделя, мы можем видеть, чтоx (0) = (0,0) ⊤ ,x (1) = (0,1.25) ⊤ ,x (2) = (−0.625,1.71875) ⊤ ,··· ···x (8) = (−0.998957,1.999218) ⊤ ,x (9) = (−0.999609,1.999707) ⊤ ,т. е. 9-я итерация отличается от предыдущей 8-й меньше чем на 10 −3 , ипотому согласно оценке (3.134) на этой итерации мы получаем требуемуюпогрешность. То, что она действительно такова, можно убедитьсяиз сравнения x (9) с известным нам точным решением (−1,2) ⊤ . Как хорошо видно из примера, практическая реализация методикиоценки погрешности итерационного решения может столкнуться сдвумя трудностями. Во-первых, непростым является определение матрицыC (которая может и не задаваться в явном виде). Во-вторых,выбор нормы ‖·‖, в которой ‖C‖ < 1, также может быть неочевидным.Теоретически такая норма должна существовать, если итерационныйпроцесс сходится из любого начального приближения, но её конкретныйвыбор в общем случае непрост.3.15 Линейная задачао наименьших квадратахДля заданных m × n-матрицы A и m-вектора b линейной задачейо наименьших квадратах называют задачу отыскания такого вектораx, который доставляет минимум квадратичной форме 〈Ax−b,Ax−b〉,или, что равносильно, квадрату евклидовой нормы невязки ‖Ax−b‖ 2 2.Ясно, что для матриц A полного ранга в случае m ≤ n, когда числострок матрицы не превосходит числа столбцов, искомый минимум,как правило, равен нулю. Для квадратной матрицы A линейная задачао наименьших квадратах, фактически, равносильна решению системы