С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

140 2. Численные методы анализастепени не более n−1, если выполнено условие s < n. Следовательно,в силу свойств полиномов Лежандра при этом должно быть I = 0.Полученное противоречие может быть снято только в случае s = n,т. е. когдаI ≠ 0. При этом все корни полиномаL n (x) различны и лежатна интервале [−1,1].Отметим, что проведённое доказательство проходит для скалярныхпроизведений вида (2.99) с достаточно произвольными весовыми функциями̺(x), а не только для единичного веса. Кроме того, тот факт, чтоинтервал интегрирования есть [−1,1], также нигде не использовался вявном виде. Фактически, это доказательство годится даже для бесконечныхпределов интегрирования. Оно показывает, что корни любыхортогональных полиномов вещественны и различны.Можно показать дополнительно, что нули полинома ЛежандраL n (x)перемежаются с нулями полинома L n+1 (x). Наконец, аналогично полиномамЧебышёва, нули полиномов Лежандра также сгущаются к концаминтервала [−1,1].Ещё одно интересное свойство полиномов Лежандра, задаваемыхпосредством формулы Родрига (2.104):L n (1) = 1, L n (−1) = (−1) n , n = 0,1,2,... .Кроме того, справедливо рекуррентное представление(n+1)L n+1 (x) = (2n+1)xL n (x)−nL n−1 (x).Доказательство этих свойств можно найти, в частности, в [25, 53]. Последняяформула даёт практически удобный способ вычисления значенийполиномов Лежандра, так как в их явном представлении (2.106)коэффициенты растут экспоненциально быстро в зависимости от номераполинома и, как следствие, прямые вычисления с ними могут датьбольшую погрешность.Введём так называемые приведённые полиномы Лежандра ˜L n (x),старший коэффициент у которых равен единице. Как следствие формулыРодрига (2.104) можем выписать следующее представление:˜L n (x) =12n(2n−1)···(n+1)d ndx n (x 2 −1 ) n=n!(2n)!d ndx n (x 2 −1 ) n,n = 1,2,.... Как и исходная формула Родрига, выражение после второгоравенства имеет также смысл при n = 0, если под производнойнулевого порядка от функции понимать её саму.