С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

90 2. Численные методы анализа2) S(x) ∈ C 2 [a,b];3) S(x i ) = y i , i = 0,1,2,...,n.Для построения такого сплайнаS(x) нужно определить4n неизвестныхвеличин — по 4 коэффициента полинома третьей степени на каждомиз n штук подинтервалов [x i−1 ,x i ], i = 1,2,...,n.В нашем распоряжении имеются3(n−1) условий непрерывности самой функции S(x), её первойи второй производных во внутренних узлах x 1 , x 2 , . . . , x n−1 ;(n+1) условие интерполяции S(x i ) = y i , i = 0,1,2,...,n.Таким образом, для определения 4n неизвестных величин мы имеемвсего (4n−2) условий. Два недостающих условия определяют различнымиспособами, среди которых часто используются, к примеру, такие:(I) S ′ (a) = β 0 , S ′ (b) = β n ,(II) S ′′ (a) = γ 0 , S ′′ (b) = γ n ,(III) S (k) (a) = S (k) (b), k = 0,1,2,где β 0 , β n , γ 0 , γ n — данные вещественные числа. Условия (I) и (II)соответствуют заданию на концах интервала [a,b] первой или второйпроизводной искомого сплайна, а условие (III) — это условие периодическогопродолжения сплайна с интервала [a,b] на более широкоеподмножество вещественной оси.Мы рассмотрим подробно случай (II) задания краевых условий:S ′′ (a) = S ′′ (x 0 ) = γ 0 ,S ′′ (b) = S ′′ (x n ) = γ n .Будем искать кусочно-полиномиальное представление нашего кубическогосплайна в специальном виде, привязанном к узлам сплайна x i :пустьS(x) = α i−1 +β i−1 (x−x i−1 )(x−x i−1 ) 2 (x−x i−1 ) 3 (2.47)+γ i−1 +ϑ i−12 6дляx ∈ [x i−1 ,x i ],i = 1,2,...,n. Ясно, что в такой форме представлениясплайна величины β 0 и γ 0 совпадают по смыслу с теми, что даются в