С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

468 4. Решение нелинейных уравнений и их системИтерационный процессx (k+1) ← x (k) − ( F ′ (x (k) ) ) −1F(x (k) ), k = 0,1,2,...,называют методом Ньютона.Метод Ньютона требует вычисления на каждом шаге матрицы производныхфункцииF и решения систем линейных алгебраических уравненийс изменяющейся матрицей. Нередко подобные трудозатраты могутстать излишне обременительными. Если зафиксировать точку ˇx, вкоторой вычисляется эта матрица производных, то получим упрощённыйстационарный итерационный процессx (k+1) ← x (k) − ( F(ˇx) ) −1F(x (k) ), k = 0,1,2,...,который часто называют модифицированным методом Ньютона. Здесьрешение систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами F(ˇx)можно осуществлять по упрощённым алгоритмам, к примеру, найдяодин раз LU-разложение матрицы и далее используя его.Один из наиболее часто используемых результатов о сходимостиметода Ньютона — этоТеорема 4.5.1 (теорема Канторовича о методе Ньютона)Пусть отображение F определено в открытой области D и имеетнепрерывную вторую производную F ′′ в замыкании clD. Пусть, крометого, существует такой непрерывный линейный оператор Γ 0 =(F(x0 ) ) −1, что∥ ∥ Γ 0 F(x 0 ) ∥ ∥ ≤ η и ‖Γ 0 F ′′ (x)‖ < K для всех x ∈ clD инекоторых констант η и K. Еслииh = Kη ≤ 1 2r ≥ r 0 = 1−√ 1−2hη,hто уравнениеF(x) = 0 имеет решениеx ⋆ , к которому сходится методНьютона, как исходный, так и модифицированный. При этом‖x ⋆ −x 0 ‖ ≤ r 0 .Для исходного метода Ньютона сходимость описывается оценкой‖x ⋆ −x k ‖ ≤ η2 k h (2h)2k , k = 0,1,2,...,