С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

84 2. Численные методы анализаЧто касается чебышёвских сеток, то они обеспечивают равномернуюсходимость интерполяционного процесса к функциям, которыеподчиняются так называемому условию Дини-Липшица [8, 25, 50]. Этоочень слабое условие, которому заведомо удовлетворяют большинствовстречающихся на практике функций. Практичным достаточным условием,при котором выполняется условие Дини-Липшица, является обобщённоеусловие Липшица: для любыхx,y из области определения функции|f(x)−f(y)| ≤ C|x−y| α , (2.46)для некоторых C и 0 < α ≤ 1. Иными словами, справедливаТеорема 2.5.1 Если узлами интерполирования берутся чебышёвскиесетки, то интерполяционный процесс сходится равномерно для любойфункции, удовлетворяющей обобщённому условию Липшица (2.46).Обоснование этого утверждения можно увидеть, к примеру, в [25].Тем не менее, для общих непрерывных функций имеет место следующийотрицательный результат:Теорема Фабера [7, 8, 56] Не существует бесконечной треугольнойматрицы узлов из заданного интервала, такой что соответствующийей алгебраический интерполяционный процесс сходился бы равномернодля любой непрерывной функции на этом интервале.В частности, даже для интерполяционного процесса по узлам полиномовЧебышёва существуют примеры непрерывных функций, длякоторых этот алгебраический интерполяционный процесс всюду расходится.Подробности можно найти в [25].Но отрицательный результат теоремы Фабера характеризует, скорее,слишком большую общность математического понятия непрерывнойфункции, которая может оказаться слишком необычной и «неудобной»и не похожей на то, что мы интуитивно вкладываем в смысл«непрерывности». Здесь уместно напомнить примеры непрерывных нигдене дифференцируемых функций (примеры Вейерштрасса или вандер Ваардена). Столь же экзотичен пример непрерывной функции, ккоторой не сходится равномерно интерполяционный процесс по чебышёвскимсеткам. Что касается теоремы Фабера, то она утверждаетлишь то, что класс непрерывных в классическом смысле функций являетсяслишком широким, чтобы для него существовал один (или даже