С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

134 2. Численные методы анализаэтой причине процесс ортогонализации (2.101)–(2.102) довольно трудоёмок,а конкретный вид функций, ортогональных в смысле L 2 [a,b], которыеполучатся в результате, зависит, во-первых, от интервала [a,b],для которого рассматривается скалярное произведение (2.99), и, вовторых,от весовой функции ̺(x).Для частного случая единичного веса, когда ̺(x) = 1, мы можемсущественно облегчить свою задачу, если найдём семейство ортогональныхфункций для какого-нибудь одного, канонического, интервала[α,β]. Для любого другого интервала воспользуемся формулой линейнойзамены переменной y = sx+r со специальным образом подобраннымиконстантами r,s ∈ R, s ≠ 0. Тогда x = (y−r)/s, и для a = sα+r,b = sβ +r имеем равенство∫ βαf(x)g(x)dx = 1 s∫ ba( y −r) ( y −r)f g dy,s sсправедливое в силу формулы замены переменных в определённом интеграле.Из него вытекает, что равный нулю интеграл по каноническомуинтервалу [α,β] останется нулевым и при линейной замене переменных.Как следствие, получающиеся при такой замене функцииf ( 1s (y −r)) и g ( 1s (y −r)) будут ортогональны на [a,b].Рассмотрим среднеквадратичное приближение функций полиномами.В этом случае в качестве канонического интервала [α,β] обычноберётся [−1,1], и тогда формула замены переменных принимает видy = 1 2 (b−a)x+ 1 2 (a+b),так что переменная y пробегает интервал [a,b], если x ∈ [−1,1]. Обратноепреобразование даётся формулойx = 1 ( )2y −(a+b) ,b−aкоторая позволяет построить ортогональные в смысле L 2 [a,b] полиномыдля любого интервала [a,b], зная их для [−1,1].Полиномами Лежандра называют семейство полиномов L n (x), зависящихот неотрицательного целого параметра n, которые образуютортогональную систему относительно скалярного произведения (2.99)с простейшим весом ̺(x) = 1 на интервале [−1,1]. Они были введены вширокий оборот французским математиком А. Лежандром в 1785 году.Из общей теории скалярного произведения в линейных пространствах