С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

66 2. Численные методы анализаВыражение (2.24) для остаточного члена алгебраической интерполяцииобычно связывают с именем О.Л. Коши, впервые его получившего.Другое выражение для остаточного члена, не использующее неизвестнуюточку ξ(x) и основанное на интегральном представлении разделённыхразностей, можно найти, к примеру, в книгах [17, 66].Если обозначитьM n = maxξ∈[a,b] |f(n) (ξ)|— максимум абсолютного значения n-ой производной на рассматриваемоминтервале, то нетрудно выписать огрублённые оценки, вытекающиеиз (2.24) и полезные при практическом вычислении погрешностиинтерполирования:или даже совсем простую|R n (f,x)| ≤ M n+1(n+1)! ·|ω n(x)|, (2.25)|R n (f,x)| ≤ M n+1(b−a) n+1. (2.26)(n+1)!Для оценивания максимума (n + 1)-ой производной функции можновоспользоваться, к примеру, интервальными методами, взяв какое-либоинтервальное расширение для f (n+1) (x) на [a,b] (см. §1.5).Отметим, что полученные выше оценки — (2.24) и её следствия(2.25) и (2.26) — становятся неприменимыми, если функция f имеетгладкость, меньшую чем n+1. В то же время представление погрешностиинтерполирования в виде (2.23) работает для любых функций.В представлении (2.24) поведение полинома ω n (x) при измененииx типично для полиномов с вещественными корнями вообще. Пусть,как и ранее, x = min{x 0 ,x 1 ,...,x n }, x = max{x 0 ,x 1 ,...,x n }. Если аргументx находится на интервале [x,x] расположения корней x 0 , x 1 ,. . . , x n или «не слишком далёко» от него, то ω n (x) принимает относительноумеренные значения, так как формирующие его множители(x−x i ), i = 0,1,...,n, «не слишком сильно» отличаются от нуля. Еслиже значения аргумента x находятся на существенном удалении откорней полинома ω n (x), то его абсолютная величина и вместе с нейпогрешность алгебраической интерполяции, очень быстро растут. НаРис. 2.5 изображён пример графика такого полинома нечётной (седьмой)степени.