С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

378 3. Численные методы линейной алгебры3.13 Вычисление определителей матрици обратных матрицПредположим, что для матрицы A выполняется LU-разложение.Как отмечалось, выполняемые в представленной нами версии методаГаусса преобразования — линейное комбинирование строк — не изменяютвеличины определителя матрицы. Следовательно, detA равенопределителю получающейся в итоге верхней треугольной матрицы U,т. е. detA есть произведение диагональных элементов U.Другая возможная трактовка этого результата состоит в том, чтоесли A = LU — треугольное разложение матрицы A, то, как известноиз линейной алгебры,detA = detL·detU.Определитель нижней треугольной матрицы L равен 1, коль скоро наеё диагонали стоят все единицы. Следовательно, как и ранее, detA =detU, а точнее — произведению всех диагональных элементов в верхнейтреугольной матрице U.Совершенно аналогичные выводы можно сделать и при использованиидругих матричных разложений. Например, если нам удалось получитьA = QR — разложение исходной матрицы в произведение ортогональнойи правой треугольной, то, коль скоро detQ = 1, искомыйопределитель detA = detR и вычисляется по R как произведение еёдиагональных элементов.Рассмотрим теперь вычисление матрицы, обратной к данной матрице.Отметим, прежде всего, что в современных вычислительных технологияхэто приходится делать не слишком часто. Один из примеров,когда подобное вычисление необходимо по существу, — нахождениедифференциала операции обращения матрицы A ↦→ A −1 , равногоd(A −1 ) = −A −1 (dA)A −1 .(см., к примеру, [14]). Тогда коэффициенты чувствительности решениясистемы уравнений Ax = b по отношению к элементам матрицы иправой части (т. е. производные решения по коэффициентам и правымчастям системы, см. §1.3) даются формулами∂x ν∂a ij= −z νi x j ,∂x ν∂b i= z νi ,