С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.8. Глобальное решение уравнений и систем 481задаваемое выражениемK(x,˜x) := ˜x−ΛF(˜x)+(I −ΛS)(x− ˜x),называется оператором Кравчика на ID относительно точки ˜x.Теорема 4.7.2 Пусть F : R n ⊇ D → R n — непрерывное по Липшицуотображение, S — его интервальная матрица наклонов и ˜x ∈ x ⊆ ID.Тогда(i) каждое решение системы F(x) = 0 на брусе x лежит также вK(x,˜x);(ii) если x∩K(x,˜x) = ∅, то в x нет решений системы F(x) = 0;(iii) если K(x,˜x) ⊆ x, то в x находится хотя бы одно решение системыF(x) = 0;(iv) если ˜x ∈ int x и ∅ ≠ K(x,˜x) ⊆ int x, то матрица S сильнонеособенна и в K(x,˜x) содержится в точности одно решениесистемы F(x) = 0.Оператор Кравчика — это не что иное, как центрированная формаинтервального расширения отображения Φ(x) = x−ΛF(x), возникающегов правой части системы уравнений после её приведения к рекуррентномувидуx = Φ(x).4.8 Глобальное решение уравненийи систем уравненийЕсли ширина бруса X велика, то на нём описанные в предшествующемпараграфе методики уточнения решения могут оказаться малоуспешнымив том смысле, что мы получим включение (4.23), из которогонельзя вывести никакого определённого заключения ни о существованиирешения на брусе X, ни о его отсутствии. Кроме того, самэтот брус, как область потенциально содержащая решение, нискольконе будет уточнён (уменьшен).