С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.8. Численное дифференцирование 109Конспективно изложим другие результаты о точности формул численногодифференцирования:f ′ (x i ) = 1 ( )−3fi +4f i+1 −f i+2 +O(h 2 ),2hf ′ (x i ) = 1 ( )fi−2 −4f i−1 +3f i +O(h 2 ),2hf ′ (x i ) = 1 ( )−2fi−1 −3f i +6f i+1 −f i+2 +O(h 3 ),6hf ′ (x i ) = 1 ( )fi−2 −6f i−1 +3f i +2f i+1 +O(h 3 ).6hОценим теперь погрешность формулы (2.65) для второй производнойf ′′ (x i ) ≈ f xx,i = f i−1 −2f i +f i+1h 2 .Обозначая для краткости f i ′ = f′ (x i ) и f i ′′ = f ′′ (x i ), получим( (f xx,i = 1 )h 2 f i −hf i ′ + h22 f′′ i − h36 f′′′ i + h424 f(4) (ξ − ) −2f i)+(f )i +hf i ′ + h22 f′′ i + h36 f′′′ i + h424 f(4) (ξ + )= f i ′′ + h2 (f (4) (ξ − )+f (4) (ξ + ) ) ,24где ξ − , ξ + — некоторые точки из открытого интервала ]x i−1 ,x i+1 [ . Поэтомуесли f ∈ C 4 [x i−1 ,x i+1 ], то справедлива оценка|f ′′ (x i )−f xx,i | ≤ M 412 h2 ,где M 4 = max ξ |f (4) (ξ)|. Таким образом, порядок точности этой формулыравен 2 на функциях из C 4 .Приведём ещё без вывода результат о погрешности формулы длявычисления второй производной вблизи края сетки (таблицы):f ′′ (x i ) = 1 h 2 (2fi −5f i+1 +4f i+2 −f i+3)+O(h 2 ),f ′′ (x i ) = 1 h 2 (fi−3 −4f i−2 +5f i−1 −2f i)+O(h 2 ).