С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.13. Квадратурные формулы Гаусса 167Предложение 2.13.1 Алгебраическая степень точности квадратурнойформулы, построенной по n узлам, не может превосходить 2n−1.Доказательство. Пустьx 1 ,x 2 , . . . ,x n — узлы квадратурной формулы(2.125). Рассмотрим интегрирование по интервалу [a,b] функцииg(x) = ( (x−x 1 )(x−x 2 )···(x−x n ) ) 2,которая является полиномом степени 2n. Если квадратурная формула(2.125) точна для g(x), тоn∑c k g(x k ) =k=1n∑c k ·0 = 0,k=1тогда как значение интеграла от g(x) очевидно не равно нулю. Подынтегральнаяфункция g(x) всюду на [a,b] положительна за исключениемлишь конечного множества точек — узлов x 1 , x 2 , . . . , x n , и поэтому∫ bg(x)dx > 0.aПолученное противоречие показывает, что квадратурная формула(2.125) не является точной для полиномов степени 2n. Итак, наивысшая алгебраическая степень точности квадратурнойформулы, построенной по n узлам, в общем случае может быть равна2n−1. Для двух узлов это3, при трёх узлах имеем 5, и т. д. Для сравнениянапомним, что алгебраические степени точности формул трапецийи Симпсона, построенных по двум и трём узлам соответственно, равнывсего 1 и 3. При возрастании числа узлов этот выигрыш в алгебраическойстепени точности формул Гаусса, достигаемый за счёт разумногорасположения узлов, нарастает.2.13б Простейшие квадратуры ГауссаПерейдём к построению квадратурных формул Гаусса. При небольшихn система уравнений (2.126) для узлов и весов может быть решенас помощью несложных аналитических преобразований.Пусть n = 1, тогда m = 2n − 1 = 1, и система уравнений (2.126)принимает вид {c1 = b−a,c 1 x 1 = 1 2 (b2 −a 2 ).