С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 285(называемые также матрицами транспозиции), которые получаютсяиз единичной матрицы перестановкой двух её строк (или столбцов) сномерами i и j. Умножение на такую матрицу слева приводит к перестановкеi-ой и j-ой строк, а умножение справа — к перестановке i-го иj-го столбцов. Тогда для метода Гаусса с частичным выбором ведущегоэлемента справедливо следующее матричное представление(E n−1 P n−1 )···(E 1 P 1 )A = U,где E j — матрицы преобразований, введённые в предыдущем разделе,а P 1 , P 2 , . . . , P n−1 — элементарные матрицы перестановок, при помощикоторых выполняется необходимая перестановка строк на 1-м, 2-м, . . . ,(n−1)-м шагах прямого хода метода Гаусса.Несмотря на то, что метод Гаусса с частичным выбором ведущегоэлемента теоретически всегда спасает положение, на практике длянекоторых «плохих» СЛАУ он может работать не очень хорошо. Этопроисходит в случае, когда ведущий элемент оказывается малым, ипотому коэффициенты r ij из прямого метода Гаусса (3.53) получаютсябольшими по абсолютной величине. По этой причине для обеспеченияустойчивости вычислительного процесса по методу Гаусса иногда имеетсмысл выбирать ведущий элемент более тщательно, чем это делаетсяпри описанном выше частичном выборе.Заметим, что ещё одним простым способом равносильного преобразованиясистемы уравнений является перенумерация переменных. Ейсоответствует перестановка столбцов матрицы, тогда как вектор правыхчастей при этом неизменен. Полным выбором ведущего элементаназывают способ его выбора, как максимального по модулю элементаиз всей активной подматрицы (а не только из её первого столбца,как было при частичном выборе), и сопровождаемый соответствующейперестановкой строк и столбцов матрицы и компонент правой части.Метод Гаусса с полным выбором выдущего элемента имеет следующеематричное представление(E n−1 ˇPn−1 )···(E 1 ˇP1 )AˆP 1··· ˆP n−1 = U,где ˇP i — элементарные матрицы перестановок, при помощи которыхвыполняется перестановка строк, ˆPj — элементарные матрицы перестановок,с помощью которых выполняется перестановка столбцов насоответствующих шагах прямого хода метода Гаусса.Напомним, что матрицей перестановок называется матрица, получающаясяиз единичной матрицы перестановкой произвольного числа