С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

336 3. Численные методы линейной алгебры3) трёхдиагональные матрицы,4) . . . .Ниже в §3.9д и §3.9е мы подробно рассмотрим итерационные процессы,соответствующие первым двум пунктам этого списка.3.9г Скалярный предобуславливательи его оптимизацияНапомним, что скалярными матрицами (из-за своего родства скалярам)называются матрицы, кратные единичным, т. е. имеющие видτI, где τ ∈ R или C. Сейчас мы подробно исследуем описанную в предшествующемразделе возможность управления итерационным процессомна простейшем примере предобуславливания с помощью скалярнойматрицы, когда Λ = τI, τ ∈ R и τ ≠ 0.Итак, рассматриваем итерационный процессx (k+1) ← (I −τA)x (k) +τb, (3.98)τ = const, который часто называют методом простой итерации. Еслиλ i , i = 1,2,...,n, — собственные числа матрицы A (вообще говоря, оникомплексны), то собственные числа матрицы (I −τA) равны (1−τλ i ).Ясно, что в случае, когда среди λ i имеются числа с разным знакомвещественной части Reλ i , при любом фиксированном вещественном τвыражениеRe(1−τλ i ) = 1−τ Reλ iбудет иметь как меньшие 1 значения для каких-то λ i , так и б´ольшиечем 1 значения для некоторых других λ i . Как следствие, добиться локализациивсех значений (1−τλ i ) в единичном круге комплекной плоскостис центром в нуле, т. е. соблюдения условияρ(I−τA) < 1, никакимвыбором τ будет невозможно.Далее рассмотрим практически важный частный случай, когда A— симметричная положительно определённая матрица, так что все λ i ,i = 1,2,...,n, вещественны и положительны. Обычно они не бываютизвестными, но нередко более или менее точно известен интервал ихрасположения на вещественной оси R. Будем предполагать, что λ i ∈[µ,M], i = 1,2,...,n.Матрица (I−τA) тогда также симметрична, и потому её спектральныйрадиус совпадает с 2-нормой. Чтобы обеспечить сходимость итерационногопроцесса и добиться её наибольшей скорости, нам нужно,