С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

164 2. Численные методы анализаКотеса высоких порядков не очень употребительны. Помимо отмеченнойвыше численной неустойчивости они проигрывают по точности результатовна одинаковом количестве узлов формулам Гаусса (изучаемымдалее в §2.13) и другим квадратурным формулам.Из популярных квадратурных формул Ньютона-Котеса приведёмещё формулу «трёх восьмых», которая получается при замене подинтегральнойфункции интерполяционным полиномом 3-й степени:∫ baf(x)dx ≈ b−a (· f(a)+3f8Её погрешность оценивается как( 2a+b3)+3f|R(f)| ≤ M 4(b−a) 5,6480( a+2b3) )+f(b) . (2.124)где M 4 = max x∈[a,b] |f (4) (x)|. Порядок точности этой формулы — такойже, как и у формулы Симпсона. Вообще, можно показать, что формулыНьютона-Котеса с нечётным числом узлов, один из которых приходитсяна середину интервала интегрирования, имеют (как формулаСимпсона) повышенный порядок точности [1, 3, 17].2.12е Метод неопределённыхкоэффициентовПусть требуется вычислить интеграл∫ baf(x)dx,для которого мы ищем приближение в виде∫ baf(x)dx ≈n∑c k f(x k ),k=0с заданными узлами x 0 , x 1 , . . . , x n . Весовые коэффициенты c k можнонайти из условия зануления погрешности этого равенства для какогото«достаточно представительного» набора несложно интегрируемыхфункцийf i (x), i = 1,2,.... Каждое отдельное равенство является уравнениемна неизвестные c 0 , c 1 , . . . , c n , и потому, выписав достаточное