С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.13. Квадратурные формулы Гаусса 165число подобных уравнений и решив полученную систему, мы сможемопределить желаемые веса, т. е. построить квадратурную формулу. Вэтом — суть метода неопределённых коэффициентов. Он идейно похож,таким образом, на метод неопределённых коэффициентов для построенияформул численного дифференцирования из §2.8в.В качестве пробных функций f p (x), p = 1,2,... часто берут алгебраическиеполиномы. Для равномерно расположенных узлов при этомполучаются знакомые нам квадратурные формулы Ньютона-Котеса.Продемонстрируем работу метода неопределённых коэффициентовдля тригонометрических полиномов1, sin(px), cos(px), p = 1,2,....2.13 Квадратурные формулы Гаусса2.13а Задача оптимизации квадратурПараметрами квадратурной формулы (2.111)∫ baf(x)dx ≈n∑c k f(x k )k=0являются узлы x k и весовые коэффициенты c k , k = 0,1,...,n. Однако,строя квадратурные формулы Ньютона-Котеса, мы заранее задавалиположение узлов, равномерное на интервале интегрирования, и потомпо ним находили веса. Таким образом, возможности общей формулы(2.111) были использованы не в полной мере, поскольку для достижениянаилучших результатов можно было бы управлять ещё и положениемузлов. Лишь в формуле средних прямоугольников положениеединственного узла было выбрано из соображений симметрии, и этопривело к существеному улучшению точности. Напомним для примера,что специальное неравномерное расположение узлов интерполяциипо корням полиномов Чебышёва существенно улучшает точность интерполирования(см. §2.3).Здесь, правда, возникает весьма важный методический вопрос: какизмерять это «улучшение» квадратурной формулы? Что брать критериемеё точности? В идеальном случае желательно было бы минимизироватьпогрешность квадратурной формулы для тех или иных классовфункций, но в такой общей постановке задача делается довольно