С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

78 2. Численные методы анализашем условия (2.41) в видеφ (l)ik (x i) = δ kl , k = 0,1,...,N i −1, (2.42)φ (l)ik (x j) = 0, j = 0,1,...,i−1,i+1,...,n, (2.43)l = 0,1,...,N i −1.Из второго условия следует, чтоφ ik (x) = (x−x 0 ) N0 ...(x−x i−1 ) Ni−1 (x−x i+1 ) Ni+1 ...(x−x n ) Nn Q ik (x),где Q ik (x) — полином степени N i −1. Для его определения привлечёмпервое условие (2.42). И так далее.Мы не будем завершать этого построения, так как дальнейшие выкладкивесьма громоздки, а алгоритм нахождения полинома из приведённыхрассуждения вполне ясен . . .Какова погрешность алгебраической интерполяции с кратными узлами?Теорема 2.4.2 Пустьf ∈ C m+1 [a,b], т.е. функция f непрерывно дифференцируемаm+1 раз на интервале [a,b]. Погрешность R m (f,x) еёинтерполирования по попарно различным узлам x 0 , x 1 , ..., x n ∈ [a,b]с кратностями N 0 , N 1 , ..., N n полиномом H m (x) степени m приусловии m = N 0 +N 1 +...+N n −1 может быть представлена в видеR m (f,x) = f(x)−H m (x) = f(m+1)( ξ(x) ) n∏· (x−x i ) Ni , (2.44)(m+1)!i=0где ξ(x) — некоторая точка из ]a,b[, зависящая от x.Доказательство. Обозначим для удобства через Ω(x) произведениелинейных множителей со степенями из правой части равенства (2.44),т. е.n∏Ω(x) := (x−x i ) Ni .i=0Это — аналог функцииω n (x), введённой в §2.2д и широко используемойвыше.Если x = x i для одного из узлов интерполирования, i = 0,1,...,n,то R m (f,x) = 0, но в то же время и Ω(x) = 0. Поэтому в (2.44) вкачестве ξ можно взять любую точку из открытого интервала ]a,b[ .