С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 293Для решения первой системы применяем прямую подстановку, а длярешения второй системы — обратную.Как конструктивно найти разложение Холесского?Выпишем равенство A = CC ⊤ , определяющее множитель Холесского,в развёрнутой форме с учётом симметричности A:⎛⎞a 11a 21 a 22▽⎜⎝... ..⎟⎠ = (3.68)a n1 a n2 ... a nn⎛ ⎞ ⎛ ⎞c 11c c 21 c 22 011 c 21 ··· c n1c 22 ··· c n2⎜ . ⎝ . . .. ⎟ ⎜ . ⎠·⎝ .. ⎟ . ⎠c n1 c n2 ··· c nn 0 , (3.69)c nn(где «▽» означает симметричные относительно главной диагонали элементыматрицы, которые несущественны в последующих рассмотрениях).Можно рассматриваеть это равенство как систему уравнений относительнонеизвестных переменных c 11 , c 21 , c 22 , . . . , c nn — элементовнижнего треугольника множителя Холесского. Всего их 1+2+...+n =12n(n+1) штук, и для их определения имеем столько же соотношений,вытекающих в этом матричном равенстве из выражений для элементовa ij , i ≥ j, которые образуют нижний треугольник симметричнойматрицы A = (a ij ).В поэлементной форме система уравнений (3.68) имеет вид, определяемыйправилом умножения матриц и симметричностью A:a ij =j∑c ik c jk при i ≥ j. (3.70)k=1Выписанные соотношения образуют, фактически, двумерный массив,но их можно линейно упорядочить таким образом, что система уравнений(3.70) получит специальный вид (очень напоминающий треугольныеСЛАУ), и далее она может быть решена с помощью процесса, сходногос прямой подстановкой для труегольных СЛАУ (см. §3.6а).