С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

166 2. Численные методы анализасложной (хотя и не неразрешимой). Один из возможных естественныхответов на поставленный вопрос состоит в том, чтобы в качестве мерытого, насколько хороша и точна квадратурная формула, брать еёалгебраическую степень точности (см. Определение 2.12.1).Как следствие, сформулированную в начале этого параграфа задачуоптимизации узлов можно поставить, к примеру, следующим образом:для заданного фиксированого числа узлов из интервала интегрированиянужно построить квадратурную формулу, которая имеетнаивысшую алгебраическую степень точности, т. е. является точнойна полиномах наиболее высокой степени. Нетривиальное решениеэтой задачи действительно существует, и формулы наивысшей алгебраическойстепени точности называются квадратурными формуламиГаусса, поскольку впервые они были рассмотрены в начале XIX векаК.Ф. Гауссом.Далее для удобства мы будем записывать квадратурные формулыГаусса не в виде (2.111), а как∫ baf(x)dx ≈n∑c k f(x k ), (2.125)k=1нумеруя узлы с k = 1, а не с нуля. Требование точного равенства длялюбого полинома степени m в этой формуле в силу её линейности эквивалентнотому, что формула является точной для одночленовf(x) = x l ,l = 0,1,2,...,m, т. е.илиn∑k=1∫ bax l dx =n∑c k x l k ,k=1l = 0,1,2,...,m,c k x l k = 1 (b l+1 −a l+1) , l = 0,1,2,...,m. (2.126)l+1Это система из (m +1) нелинейных уравнений с 2n неизвестными величинамиc 1 , c 2 , . . . , c n , x 1 , x 2 , . . . , x n . Число уравнений совпадает счислом неизвестных при m + 1 = 2n, т. е. m = 2n − 1, и это, вообщеговоря, есть максимальное возможное значение для m. При б´ольшихзначениях m система уравнений (2.126) переопределена и в случае общегоположения оказывается неразрешимой.Сделанное заключение можно обосновать строго.