С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.3. Полиномы Чебышёва 732.3б Применения полиномов ЧебышёваДоказательство Предложения 2.3.2 лишь косвенным образом используетто обстоятельство, что полиномы рассматриваются на интервале[−1,1]. Фактически, мы опирались на свойство 3 полиномов Чебышёвадостигать своих знакопеременных экстремумов в n+1 точкахэтого интервала. Если в качестве области определения полиномов необходимовзять интервал [a,b], отличный от [−1,1], то линейной заменойпеременнойy = 1 2 (b+a)+ 1 2(b−a)x (2.34)интервал [−1,1] может быть преобразован в [a,b]. При этом обратноеотображение [a,b] → [−1,1] задаётся формулойx = 2y−(b+a) , (2.35)(b−a)а корням полинома Чебышёва на [−1,1] соответствуют тогда точкиẙ k = 1 2 (b+a)+ 1 2(2k +1)π(b−a) cos , k = 0,1,...,n−1. (2.36)2nиз интервала [a,b]. Свойство, аналогичное Предложению 2.3.2, будетверно на интервале [a,b] для полинома, полученного из T n (x) с помощьюлинейной замены переменных (2.35).Предложение 2.3.3 Если T n (x) — n-ый полином Чебышёва, то полиномпеременной y, задаваемый как( ) 2y−(b+a)2 1−2n (b−a) n ·T n (2.37)b−aимеет старший коэффициент 1 и на интервале [a,b] равномерно наименееуклоняется от нуля среди всех полиномов степени n со старшимкоэффициентом 1.Доказательство. Первое утверждение Предложения слудует из того,что при подстановке (2.35) в полиноме n-ой степени старший коэффициентприобретает дополнительный множитель 2 n /(b−a) n .Из свойств полиномов Чебышёва следует, что на[a,b] полином (2.37)достигает максимумов своего модуля, равных 2 1−2n (b−a) n , в точках( sπ)y s = 1 2 (a+b)+ 1 2 (b−a) cos ,n