С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

256 3. Численные методы линейной алгебрыможно увидеть, к примеру, что все данные суть линейные комбинациинемногих порождающих.Ранг матрицы не зависит непрерывно от её элементов. Выражаясьязыком, который развивается в Главе 4 (§4.2), можно сказать, что задачавычисления ранга матрицы не является вычислительно-корректной.Как следствие, совершенно точное определение ранга в условиях «зашумлённых»данных, которые искажены случайными помехами и ошибкамиизмерений, не имеет смысла. Нам нужно, как правило, знать«приближённый ранг», и при прочих равных условиях для его нахожденияболее предпочтителен тот метод, который менее чувствителенк ошибкам и возмущениям в данных. Под «приближённым рангом»естественно понимать ранг матрицы, приближённо равной исходной всмысле некоторой разумной нормы.Ясно, что ранг диагональной матрицы равен числу её ненулевыхдиагональных элементов. Ортогональные преобразования сохраняютлинейную независимость. Таким образом, ранг любой матрицы равенколичеству её ненулевых сингулярных чисел, что следует из сингулярногоразложения (3.12), т. е. представленияA = UΣV ∗Другой способ нахождения ранга матрицы может состоять в приведенииеё к так называемому строчно-ступенчатому виду с помощьюпреобразований, которые использовались в прямом ходе метода Гаусса.Но в условиях неточных данных и неточных арифметических операцийна ЭВМ строчно-ступенчатая форма является очень ненадёжным инструментом.Использование сингулярного разложения — более надёжныйи достаточно эффективный подход к нахождению ранга матрицы.3.4б Решение систем линейных уравненийЕсли для матрицы A известно сингулярное разложение (3.12), тосистема линейных алгебраических уравнений Ax = b может быть переписанаэквивалентным образом какUΣV ∗ x = b.Отсюда решение легко находится в видеx = VΣ −1 U ∗ b.