С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

414 3. Численные методы линейной алгебрыЗапустив обратные степенные итерации из начального вектора x (0)= (1,1) ⊤ , за 7 итераций получим 7 верных значащих цифр наименьшегопо модулю собственного числа 0.3722813. Скорость сходимостиздесь получается такой же, как в Примере 3.14.1 для доминирующегособственного значения этой матрицы, что неудивительно ввиду одинаковогозначения знаменателя геометрической прогрессии λ 2 /λ 1 . Обратные степенные итерации особенно эффективны в случае, когдаимеется хорошее приближение к собственному значению и требуетсянайти соответствующий собственный вектор.3.17г Сдвиги спектраСдвигом матрицы называют прибавление к ней скалярной матрицы,т. е. матрицы, пропорциональной единичной матрице, так что вместоматрицыAмы получаем матрицу A+ϑI. Если λ i (A) — собственныезначения матрицы A, то для любого комплексного числа ϑ собственнымизначениями матрицы A+ϑI являются числа λ i (A)+ϑ, тогда каксобственные векторы остаются неизменными. Цель сдвига — преобразованиеспектра матрицы для того, чтобы улучшить работу тех илииных алгоритмов решения проблемы собственных значений.Если, к примеру, у матрицы A наибольшими по абсолютной величинебыли два собственных значения −2 и 2, то прямое применениек ней степенного метода не приведёт к успеху. Но у матрицы A + Iэти собственные значения перейдут в −1 и 3, второе собственное числостанет наибольшим по модулю, и теперь уже единственным. Соответственно,степенной метод сделается применимым к новой матрице.Пример 3.17.5 Для матрицы (3.11)( ) 1 2,−3 4как было отмечено в Примере 3.17б, простейший степенной метод расходитсяиз-за существования двух наибольших по абсолютной величинесобственных значений.Но если сдвинуть эту матрицу на 2i, то её спектр (см. Рис. 3.23)поднимется «вверх», абсолютные величины собственных значений перестанутсовпадать, и степенной метод окажется применимым.