С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

452 4. Решение нелинейных уравнений и их системНапример, неустойчивое решение квадратного уравнения (4.5)–(4.6)имеет индекс 0, а у векторных полей, изображённых на рисунках 4.4 и4.5, начало координат является устойчивой особой точкой.Интересно отметить, что отличие линейных уравнений от нелинейных,как следует из всего сказанного, проявляется не только в формеи структуре, но и в более глубоких вещах: 1) в линейных задачах индексрешения, как правило, равен ±1, а в нелинейных может быть какнулевым, так и отличным от±1, и, как следствие, 2) в типичных линейныхзадачах изолированное решение устойчиво, а в нелинейных можетбыть неустойчивым.Отметим отдельно, что результат об устойчивости особой точкиненулевого индекса ничего не говорит о количестве особых точек, близкихк возмущаемой особой точке. В действительности, путем шевеленияодной устойчивой особой точки можно получить сразу несколькоособых точек, и это легко видеть на примере полей Рис. 4.5. Любаясколь угодно малая постоянная добавка к полю, изображённому на левомчертеже Рис. 4.5, приводит к распадению нулевой особой точкииндекса 2 на две особые точки индекса 1. Аналогично, любая скольугодно малая постоянная добавка к полю, изображённому на правомчертеже Рис. 4.5, приводит к распадению нулевой особой точки на триособые точки индекса 1. Таким образом, свойство единственности решениянеустойчиво и требовать его наличия нужно со специальнымиоговорками.Если в областиD находится конечное число особых точек, то суммуих индексов называют алгебраическим числом особых точек.Предложение 4.3.5 Пусть непрерывное векторное поле Φ имеет вD конечное число особых точек x 1 , x 2 , ..., x s и невырождено на границе∂D. Тогдаγ(Φ,D) = ind (x 1 ,Φ)+ind (x 2 ,Φ)+···+ind (x s ,Φ).Алгебраическое число особых точек устойчиво к малым возмущениямобласти и векторного поля, так как охватывает совокупную суммуиндексов вне зависимости от рождения и уничтожения отдельных точек.Наконец, сделаем ещё одно важное замечание. Нередко на практикедля решения систем нелинейных уравнений исходную задачу переформулируюткак оптимизационную, пользуясь, например, тем, что