С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

102 2. Численные методы анализаВоспользуемся теперь тем, что x i −x i−1 = h i , x i+1 −x i = h i+1 . Тогдаx i+1 −x i−1 = h i +h i+1 , а результат предшествующих выкладок можетбыть записан в видеf ′ (x) ≈ P ′ 2,i(x) = 2x−x i −x i+1h i (h i +h i+1 ) f i−1− 2x−x i−1 −x i+1h i h i+1f i + 2x−x i−1 −x ih i+1 (h i +h i+1 ) f i+1.(2.63)Формула (2.63) может применяться при вычислении значения производнойв произвольной точке x для случая общей неравномернойсетки. Предположим теперь для простоты, что сетка равномерна, т. е.h i = h = const, i = 1,2,...,n. Кроме того, для таблично заданнойфункции на практике обычно наиболее интересны производные в техже точках, где задана сама функция, т. е. в узлах x 0 , x 1 , . . . , x n . Вточке x = x i из (2.63) получаем для первой производной формулуf ′ (x i ) ≈ f˚x,i = f i+1 −f i−1, (2.64)2hназываемую формулой центральной разности. Подставляя в (2.63) аргументx = x i−1 и сдвигая в получающемся результате индекс на +1,получимf ′ (x i ) ≈ −3f i +4f i+1 −f i+2.2hПодставляя в (2.63) аргумент x = x i+1 и сдвигая в получающемся результатеиндекс на (−1), получимf ′ (x i ) ≈ f i−2 −4f i−1 +3f i.2hЗаймёмся теперь выводом формул для второй производной. Используяинтерполяционный полином второй степени, можно найти:f ′′ (x i ) ≈ P ′′2,i(x) =2h i (h i +h i+1 ) f i−1− 2h i h i+1f i +2h i+1 (h i +h i+1 ) f i+1.В частности, на равномерной сетке с h i = h = const, i = 1,2,...,nимеемf ′′ (x i ) ≈ f i−1 −2f i +f i+1h 2 . (2.65)