С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

324 3. Численные методы линейной алгебрыот p предшествующих приближений, т. е. от x (k) , x (k−1) , . . . , x (k−p+1) .В частности, наиболее простыми в этом отношении являются одношаговыеитерационные методыx (k+1) ← T k (x (k) ), k = 0,1,2,...,в которых x (k+1) зависит лишь от значения одной предшествующейитерации x (k) . Для начала работы одношаговых итерационных процессовнужно знать одно начальное приближение x (0) .Итерационный процесс называется стационарным, если операторперехода T k не зависит от номера шага k, т. е. T k = T, и нестационарнымв противном случае. Линейным p-шаговым итерационнымпроцессом будут называться итерации, в которых оператор переходаимеет видT k (x (k) ,x (k−1) ,...,x (k−p+1) )= C (k,k) x (k) +C (k,k−1) x (k−1) +...+C (k,k−p+1) x (k−p+1) +d (k)с какими-то коэффициентами C (k,k) , C (k,k−1) , . . . , C (k,k−p+1) и свободнымчленом d (k) . В случае векторной неизвестной переменной x всеC (k,l) являются матрицами подходящих размеров, а d (k) — вектор тойже размерности, что и x. Матрицы C (k,l) часто называют матрицамиперехода рассматриваемого итерационного процесса.Итерационные методы были представлены выше в абстрактной манере,как некоторые конструктивные процессы, которые порождаютпоследовательности, сходящиеся к искомому решению. В действительности,мотивации возникновения и развития итерационных методовявлялись существенно более ясными и практичными. Итерационныеметоды решения уравнений и систем уравнений возникли как уточняющиепроцедуры, которые позволяли за небольшое (удовлетворяющеепрактику) количество шагов получить приемлемое по точности приближённоерешение задачи. Многие из классических итерационных методовявно несут отпечаток этих взглядов и ценностей.Ясно, что для коррекции приближённого решения необходимо знать,насколько и как именно оно нарушает точное равенство обеих частейуравнения. На этом пути возникает важное понятие невязки приближённогорешения ˜x, которая определяется как разность левой и правойчастей уравнения (системы уравнений) после подстановки в него ˜x. Исследованиеэтой величины, отдельных её компонент (в случае системы