С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.3. Нормы векторов и матриц 247результат на эту тему, который будет далее использован при исследованииметода наискорейшего спуска в §3.10б:Предложение 3.3.8 Если S — матрица, которая является значениемнекоторого многочлена от матрицы A, порождающей энергетическуюнорму ‖·‖ A , то для любого вектора x справедливо‖Sx‖ A ≤ ‖S‖ 2 ‖x‖ A . (3.25)Доказательство. Воспользуемся спектральным разложением матрицыA, представив её в виде A = QDQ ∗ , где Q — ортогональная (унитарнаяв общем случае) матрица, а D — диагональная матрица с положительнымисобственными значениями A по диагонали. Ясно, чтоматрица S — симметричная (эрмитова) одновременно с A, причём длянеё справедливо аналогичное разложение S = QΣQ ∗ с той же самойматрицейQ, где Σ = diag{s 1 ,s 2 ,...,s n } — диагональная матрица, имеющаяпо диагонали собственные числа S. Тогда S ∗ = QΣQ ∗ и потому‖Sx‖ 2 A = 〈ASx,Sx〉 = 〈AQΣQ ∗ x,QΣQ ∗ x〉= 〈QDQ ∗ QΣQ ∗ x,QΣQ ∗ x〉 = 〈DΣQ ∗ x,ΣQ ∗ x〉= 〈ΣDΣQ ∗ x,Q ∗ x〉 = 〈Σ 2 DQ ∗ x,Q ∗ x〉≤ s 2 1〈DQ ∗ x,Q ∗ x〉 = s 2 1〈Q ∗ DQ ∗ x,x〉= ‖S‖ 2 2 〈Ax,x〉 = ‖S‖2 2 ‖x‖2 A ,где s 1 — наибольшее сингулярное число матрицы S, т. е. s 1 = ‖S‖ 2 . 3.3ж Спектральный радиусОпределение 3.3.6 Спектральным радиусом квадратной матрицыназывается наибольший из модулей её собственных чисел.Эквивалентное определение: спектральным радиусом матрицы называетсянаименьший из радиусов кругов комплексной плоскости C сцентром в начале координат, который содержит весь спектр матрицы.Эта трактовка хорошо объясняет и сам термин. Обычно спектральныйрадиус матрицы A обозначают ρ(A).