С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

28 1. Введение✻f(X)✛X✲❄Рис. 1.4. Интервальное расширение функциидаёт внешнюю оценку её области значенийрамках нашего беглого обзора некоторые общезначимые результаты вэтом направлении. Первый из них часто называют «основной теоремойинтервальной арифметики»:Теорема 1.5.1 Если для рациональной функции f(x) = f(x 1 , x 2 , ...,x n ) на брусе x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) ∈ IR n определён результат f ♮(x)подстановки вместо её аргументов интервалов их изменения x 1 , x 2 ,..., x n и выполнения всех действий над ними по правилам интервальнойарифметики, то{f(x) | x ∈ x} ⊆ f(x),т.е. f(x) содержит множество значений функции f(x) на x.Нетрудно понять, что по отношению к рациональной функции f(x)интервальная функция f ♮(x), о которой идёт речь в Теореме 1.5.1,является интервальным расширением. Оно называется естественныминтервальным расширением и вычисляется совершенно элементарно.Пример 1.5.1 Для функции f(x) = x/(x +1) на интервале [1,3] областьзначений в соответствии с результатом Теоремы 1.5.1 можно оценитьизвне как[1,3][1,3]+1 = [1,3][2,4] = [ 14 , 2] 3 . (1.19)Но если предварительно переписать выражение для функции в видеf(x) =11+1/x ,