С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.16. Проблема собственных значений 395Ясно, что ν i ≥ 1, и можно интерпретировать коэффициенты перекосакакν i = 1cosϕ i,где ϕ i угол между собственными векторами x i и y i исходной и сопряжённойматриц. Коэффиценты перекоса характеризуют, таким образом,обусловленность проблемы собственных значений в смысле второгоподхода §1.3.Для симметричной (или, более общо, эрмитовой) матрицы коэффициентыперекоса равны 1. В самом деле, сопряжённая к ней задача насобственные значения совпадает с ней самой, и потому в наших обозначенияхx i = y i , i = 1,2,...,n. Следовательно, 〈x i ,y i 〉 = 〈x i ,x i 〉 =‖x i ‖ 2 ‖y i ‖ 2 , откуда и следует ν i = 1.Это наименьшее возможное значение коэффициентов перекоса, такчто численное нахождение собственных значений симметричных (эрмитовыхв комплексном случае) матриц является наиболее устойчивым.Что касается возмущений собственных векторов, то коэффициентыα ij их разложения оцениваются сверху как|α ij | ≤ ‖(dA)x i‖ 2 ‖y j ‖ 2|λ i −λ j |·|〈x j ,y j 〉|≤ ‖dA‖ 2|λ i −λ j | ν j,и потому имеет место общая оценка‖dx i ‖ 2 ≤ ‖dA‖ 2 ·‖x‖ 2 ·∑j≠iν j|λ i −λ j | . (3.141)Отметим значительную разницу в поведении возмущений собственныхзначений и собственных векторов матриц. Из оценки (3.141) следует,что на чувствительность отдельного собственного вектора влияюткоэффициенты перекоса всех собственных значений матрицы, ане только того, которое отвечает этому вектору. Кроме того, в знаменателяхслагаемых из правой части (3.141) присутствуют разностиλ i −λ j , которые могут быть малыми при близких собственных значенияхматрицы. Как следствие, собственные векторы при этом оченьчувствительны к возмущениям в элементах матрицы. Это мы моглинаблюдать в Примере 3.16.2. В частности, даже для симметричных(эрмитовых) матриц задача отыскания собственных векторов можетоказаться плохообусловленной.