С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.13. Вычисление определителей и обратных матриц 379ν = 1,2,...,n, где Z = (z ij ) = A −1 — обратная к матрице A.Гораздо чаще встречается необходимость вычисления произведенияобратной матрицы A −1 на какой-то вектор b, и это произведение всегдаследует находить как решение системы уравнений Ax = b какими-либоиз методов для решения СЛАУ. Такой способ заведомо лучше, чем вычислениеA −1 b через нахождение обратной A −1 , как по точности, таки по трудоёмкости.Матрица A −1 , обратная к данной матрице A, является решениемматричного уравненияAX = I.Но это уравнение распадается на n уравнений относительно векторныхнеизвестных, соответствующих отдельным столбцам неизвестнойматрицы X, и потому мы можем решать получающиеся уравнения порознь.Из сказанного следует способ нахождения обратной матрицы: нужнорешить n штук систем линейных уравненийAx = e (j) , j = 1,2,...,n, (3.128)где e (j) — j-ый столбец единичной матрицы I. Это можно сделать, кпримеру, любым из рассмотренных нами выше методов, причём прямыеметоды здесь особенно удобны в своей матричной трактовке. В самомделе, сначала мы можем выполнить один раз LU-разложение (илиQR-раложение) исходной матрицы A, а затем хранить его и использоватьпосредством схемы (3.59) (или (3.77)) для различных правыхчастей уравнений (3.128). Если матрица A — симмметричная положительноопределённая, то очень удобным может быть разложение Холесскогои последующее решение систем уравнений (3.128) с помощьюпредставления (3.67).В прямых методах решения СЛАУ прямой ход, т. е. приведение исходнойсистемы к треугольному виду, является наиболее трудоёмкойчастью всего алгоритма, которая требует обычно O(n 3 ) арифметическихопераций. Обратный ход (обратная подстановка) — существенноболее лёгкая часть алгоритма, требующая всего O(n 2 ) операций. Поэтой причине изложенный выше рецепт однократного LU-разложенияматрицы (или других разложений) позволяет сохранить общую трудоёмкостьO(n 3 ) для алгоритма вычисления обратной матрицы.Другой подход к обращению матриц — конструирование чисто матричныхпроцедур, не опирающихся на методы решения систем линейныхуравнений с векторными неизвестными. Известен итерационный