С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.6. Прямые методы решения линейных систем 273поля или же потенциальное течение несживаемой жидкости. Для определенияконкретного решения этого уравнения задают ещё какие-либокраевые условия на границе расчётной области. Мы будем считать заданнымизначения искомой функции u(x 1 ,x 2 ) на границе прямоугольника:u(x 1 ,x 2 ) = f(x 2 ), u(x 1 ,x 2 ) = f(x 2 ), (3.46)u(x 1 ,x 2 ) = g(x 1 ), u(x 1 ,x 2 ) = g(x 1 ). (3.47)Рассматриваемую задачу называют задачей Дирихле для уравненияЛапласа.Рис. 3.12. Расчётная область для численного решения уравнения Лапласа.Станем решать задачу (3.45)–(3.47) с помощью конечно-разностногометода, в котором искомая функция заменяется своим дискретныманалогом, а производные в решаемом уравнении заменяются на разностныеотношения. Введём на области D равномерную прямоугольнуюсетку, и вместо функции u(x 1 ,x 2 ) непрерывного аргумента будемрассматривать её значения в узлах построенной сетки.Если обозначить через u ij значение искомой функции u в точкеx ij , то после замены вторых производных формулами (2.65) получимследующую систему соотношенийu i−1,j −2u ij +u i+1,jh 2 1+ u i,j−1 −2u ij +u i,j+1h 2 2= 0, (3.48)i = 1,2,...,m−1, j = 1,2,...,n−1, для внутренних узлов расчётной