С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

106 2. Численные методы анализагде ξ + и ξ − — некоторые точки из открытого интервала ]x i−1 ,x i+1 [.Поэтомуf˚x,i −f ′ (x i ) = h2 (f ′′′ (ξ + )+f ′′′ (ξ − ) ) = αh2126 ,где α = 1 2 (f′′′ (ξ + )+f ′′′ (ξ − ) ) . В целом справедлива оценка∣ f˚x,i −f ′ (x i ) ∣ ∣ ≤M 36 h2 ,в которой M 3 = max ξ |f ′′′ (ξ)| для ξ ∈ ]x i−1 ,x i+1 [ . То есть, на триждынепрерывно дифференцируемых функциях погрешность вычисленияпроизводной по формуле «центральной разности» равна O(h 2 )для равномерной сетки шага h.Определение 2.8.1 Станем говорить, что приближённая формула(численного дифференцирования, интегрирования и т.п.) или же приближённыйчисленный метод имеют p-ый порядок точности (или порядокаппроксимации), если на равномерной сетке с шагом h их погрешностьявляется величиной O(h p ), т.е. не превосходит Ch p , гдеC — константа, не зависящая от h.Нередко понятие порядка точности распространяют и на неравномерныесетки, в которых шаг h i меняется от узла к узлу. Тогда рольвеличиныhиграет какой-нибудь «характерный размер», описывающийданную сетку, например, h = max i h i . Порядок точности — важная количественнаямера погрешности формулы или метода, и при прочихравных условиях более предпочтительной является та формула илитот метод, которые имеют более высокий порядок точности. Но следуетчётко осознавать, что порядок точности имеет асимптотическийхарактер и отражает поведение погрешности при стремлении шаговсетки к нулю. Если этого стремления нет и шаг сетки остаётся «достаточнобольшим», то вполне возможны ситуации, когда метод меньшегопорядка точности даёт лучшие результаты, поскольку множитель приh p в оценке погрешности у него меньше.Другое необходимое замечание состоит в том, что понятие порядкаформулы или метода основывается на сравнении скорости убыванияпогрешности со скоростью убывания степенных функций 1, x, x 2 , . . . ,x k , . . . , то есть существенно завязано на степенную шкалу. Иногда (не