С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.2. Теоретическое введение 215Отметим, что и система (3.7), и это определение имеют смысл ужедля произвольных прямоугольных матриц, а не только для квадратных,как было в случае собственных значений и собственных векторов.Дляm×n-матрицыAправые сингулярные векторы имеют размерностьn, а левые — размерность m.Если σ вещественно, то оно совпадает со своим комплексно-сопряжённымзначением, σ = σ, и потому, беря эрмитово сопряжение от второгоуравнения (3.7), можем переписать систему уравнений для определениясингулярных чисел и сингулярных векторов в следующем виде:{Ax = σy,(3.8)A ∗ y = σx.Полезна также матричная форма системы (3.7):( )( (0 A∗ x x= σ , (3.9)A 0 y)y)которая находится в красивой двойственности с системой (3.6). Если A— вещественная матрица, то векторы x и y также могут быть взяты вещественными,а система уравнений (3.9) для определения сингулярныхчисел и векторов принимает ещё более простой вид:( )( (0 A⊤ x x= σ .A 0 y)y)Из уравнений (3.8)–(3.9) видно, что, в отличие от собственных значений,сингулярные числа характеризуют совместно как саму матрицу,так и её эрмитово-сопряжённую (транспонированную в вещественномслучае).Наша ближайшая цель — показать корректность Определения 3.2.2,то есть существование решений σ, x, y для системы уравнений (3.8)–(3.9) и наличие среди них неотрицательных σ.Предложение 3.2.4 Сингулярные числа матрицыAсуть неотрицательныеквадратные корни из собственных чисел матрицы A ∗ A илиматрицы AA ∗ .Формулировка этого утверждения требует разъяснений, так как вслучае прямоугольной m×n-матрицы A размеры квадратных матриц