С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

112 2. Численные методы анализаванного порядка и т. п. Рассмотрим ниже подробно случай алгебраическихполиномов.Возьмём f(x) равной последовательным степеням переменной x,т. е. 1, x, x 2 , . . . , x q для некоторого фиксированного q. Если формула(2.75) обращается в точное равенство на этих «пробных функциях»,то с учётом её линейности можно утверждать, что она будет точнойдля любого алгебраического полинома степени не выше q.Каждое условие, выписанное для какой-то определённой степениx j ,j = 0,1,...,q, является линейным соотношением для неизвестных коэффициентовci , и в целом мы приходим к системе линейных уравненийотносительно c i , i = 0,1,...,p. Для разрешимости этой системы естественновзять число неизвестных равным числу уравнений, т. е. q = p.Получающаяся система линейных уравнений имеет вид⎧c 0 + c 1 + ... + c p = 0,c 0 x 0 + c 1 x 1 + ... + c p x p = 0,⎪⎨⎪⎩... .. . .. .c 0 x k−10 + c 1 x k−11 + ... + c p x k−1p = 0,c 0 x k 0 + c 1 x k 1 + ... + c p x k p =c 0 x k+10 + c 1 x k+11 + ... + c p x k+1..... ....k!,p = (k +1)!x,....c 0 x p 0 + c 1 x p 1 + ... + c p x p p = p(p−1)···(p−k +1)x p−k .(2.76)В правых частях этой системы стоят k-е производные от 1, x, x 2 , . . . ,x q , а матрицей системы является матрица Вандермонда вида (2.7), котораянеособенна для попарно различных узлов x 0 , x 1 , . . . , x p . Приэтом система линейных уравнений однозначно разрешима относительноc 0 , c 1 , . . . , c p для любой правой части, но содержательным являетсялишь случай k ≤ p. В противном случае, если k > p, правая частьсистемы (2.76) оказывается нулевой, и, как следствие, система такжеимеет только бессодержательное нулевое решение. Этот факт имеетинтуитивно ясное объяснение: нельзя построить формулу для вычисленияпроизводной k-го порядка от функции, используя значения этойфункции не более чем в k точках.Матрицы Вандермонда в общем случае являются плохообусловленными(см. §3.5б). Но на практике решение системы (2.76) — вручную