С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.2. Вычислительно-корректные задачи 437ответ соответствующей индивидуальной задачи (см. §1.3). Станем говорить,что массовая математическая задача является вычислительнокорректной, если её разрешающее отображение P → A из множествавходных данных P во множество A ответов задачи непрерывно относительнонекоторых топологий на P и A, определяемых содержательнымсмыслом задачи.Те задачи, ответы на которые неустойчивы по отношению к возмущениямвходных данных, могут решаться на ЭВМ с конечной разряднойсеткой лишь опосредованно, после проведения мероприятий,необходимых для защиты от этой неустойчивости или её нейтрализации.Конечно, скорость изменения решения в зависимости от измененийвходных данных может быть столь большой, что эта зависимость, дажебудучи непрерывной и сколь угодно гладкой, становится похожейна разрывную. Это мы могли видеть в §3.16в для собственных значенийнекоторых матриц, которые являются «практически разрывными»функциями элементов матрицы. Но определением вычислительно корректнойзадачи выделяются те задачи, для которых хотя бы в принципевозможно добиться сколь угодно точного приближения к идеальномуматематическому ответу, например, увеличением количества значащихцифр при вычислениях и т. п.Пример 4.2.1 Задача решения систем линейных уравнений Ax = b снеособенной квадратной матрицейAявляется вычислительно-корректной.Если топология на пространствеR n её решений задается обычнымевклидовым расстоянием и подобным же традиционным образом задаётсярасстояние между векторами правой части и матрицами, то существуютхорошо известные неравенства (см. §3.5а), оценивающие сверхуграницы изменения решений x через изменения элементов матрицы A,правой части b и число обусловленности матрицы A. Пример 4.2.2 Вычисление ранга матрицы — вычислительно некорректнаязадача. Дело в том, что в основе понятия ранга лежит линейнаязависимость строк или столбцов матрицы, т. е. свойство, котороенарушается при сколь угодно малых возмущениях матрицы. Разрывная зависимость решения от входных данных задачи можетвозникать вследствие присутствия в алгоритме вычисления функцииусловных операторов вида IF . . .THEN . . .ELSE, приводящих к ветвле-