С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

258 3. Численные методы линейной алгебрыЭто в самом деле матрица ранга p, что следует из её сингулярногопредставления, а погрешность, с которой она приближает исходнуюматрицу, равнаn∑σ k Υ k .k=p+1Величина этой погрешности решающим образом зависит от величинысингулярных чисел σ p+1 , . . . , σ min{m,n} , соответствующих отброшеннымслагаемым в (3.35). Более точно, погрешность p-рангового приближенияхарактеризуется следующим замечательным свойством:Теорема 3.4.1 Пусть σ k , u k и v k — сингулярные числа и левые иправые сингулярные векторы m×n-матрицы A соответственно. Еслиp < n иp∑A p = σ k u k vk∗k=1— p-ранговое приближение матрицы A, то‖A−A p ‖ 2 =min ‖A−B‖ 2 = σ p+1 .B∈C m×nrank(B)≤pИными словами, относительно спектральной нормы p-ранговое приближениематрицы обеспечивает наименьшее отклонение от первоначальнойматрицы среди всех матриц ранга не более p.Доказательство. Предположим, что найдётся такая матрица B, имеющаяранг rank(B) ≤ p, что ‖A − B‖ 2 < ‖A − A p ‖ 2 = σ p+1 . Тогдасуществует(n−p)-мерное подпространствоW ⊂ C n , для которого справедливоw ∈ W ⇒ Bw = 0. При этом для любого w ∈ W мы имеемAw = (A−B)w, так что‖Aw‖ 2 = ‖(A−B)w‖ 2 ≤ ‖A−B‖ 2 ‖w‖ 2 < σ p+1 ‖w‖ 2 .Таким образом, W является (n−p)-мерным подпространством в C n , вкотором ‖Aw‖ 2 < σ p+1 ‖w‖ 2 .Но в C n имеется (p+1)-мерное подпространство, образованное векторамиv,для которых‖Av‖ 2 ≥ σ p+1 ‖v‖ 2 . Это подпространство, являющеесялинейной оболочкой первых p+1 правых сингулярных векторовматрицы A. Поскольку сумма размерностей этого подпространства и