С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

350 3. Численные методы линейной алгебрыневязки либо её норму, либо какую-то зависящую от них величину.В этом смысле методы Якоби и Гаусса-Зейделя можно рассматриватькак итерационные процессы, в которых также осуществляется релаксация,поскольку на каждом их шаге компоненты очередного приближениявычисляются из условия зануления соответствующих компонентневязки на основе уже полученной информации о решении. Правда,это делается «локально», для отдельно взятой компоненты, и без учётавлияния результатов вычисления этой компоненты на другие компонентыневязки.Различают релаксацию полную и неполную, в зависимости от того,добиваемся ли мы на каждом отдельном шаге итерационного процесса(или его подшаге) наибольшего возможного улучшения рассматриваемойфункции от погрешности или нет. Локально полная релаксацияможет казаться наиболее выгодной, но глобально, с точки зрения сходимостипроцесса в целом, тщательно подобранная неполная релаксациянередко приводит к более эффективным методам.Очень популярной реализацией высказанных выше общих идей являетсяметод решения систем линейных алгебраических уравнений, вкотором для улучшения сходимости берётся «взвешенное среднее» значенийкомпонент предшествующейx (k) и последующей x (k+1) итерацийметода Гаусса-Зейделя. Более точно, зададимся вещественным числомω, которое будем называть параметром релаксации, и i-ую компонентуочередного (k +1)-го приближения положим равнойωx (k+1)i+(1−ω)x (k)i ,где x (k)i — i-ая компонента приближения, полученного в результате k-го шага алгоритма, а x (k+1)i — i-ая компонента приближения, котороебыло бы получено на основе x (k) и x (k+1)1 , . . . , x (k+1)i−1 , x (k)i+1 , . . . , x(k) nс помощью метода Гаусса-Зейделя. Псевдокод получающегося итерационногоалгоритма, который обычно и называют методом релаксациидля решения систем линейных алгебраических уравнений, представленв Табл. 3.6.Расчётные формулы этого метода можно записать в виде∑i−1a ii x (k+1)i+ω a ij x (k+1)jj=1= (1−ω)a ii x (k)i−ωn∑j=i+1a ij x (k)j+ωb i ,для i = 1,2,...,n. Используя введённые выше в §3.9е матрицы ˜L, D и