С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.5. Обусловленность систем линейных уравнений 263Фигурирующая в оценках (3.38) и (3.39) величина ‖A −1 ‖‖A‖, на которуюсуммарно умножаются ошибки в матрице и правой части, имеетсвоё собственное название, так как играет важнейшую роль в вычислительнойлинейной алгебре.Определение 3.5.1 Для квадратной неособенной матрицы A величина‖A −1 ‖‖A‖ называется её числом обусловленности (относительновыбранной нормы матриц).Мы будем обозначать число обусловленности матрицы A посредствомcond(A), иногда с индексом, указывающим выбор нормы. 8 Еслиже матрица A особенна, то удобно положитьcond(A) = +∞. Это соглашениеоправдывается тем, что обычно‖A −1 ‖ неограниченно возрастаетпри приближении матрицы A к множеству особенных матриц.Выведем теперь априорную оценку относительной погрешности ненулевогорешения, которая не будет опираться на знание вычисленногорешения и годится для получения оценки до решения СЛАУ. 9После вычитания точного уравнения из приближённого мы получили(3.37):(∆A)x+(A+∆A)∆x = ∆b.Отсюда∆x = (A+∆A) −1( −(∆A)x+∆b )= ( A(I +A −1 ∆A) ) −1(−(∆A)x+∆b)= ( I +A −1 ∆A ) −1A−1 ( −(∆A)x+∆b ) .Беря интересующую нас векторную норму от обеих частей этого равенстваи пользуясь далее условием согласования с матричной нормой,субмультипликативностью и неравенством треугольника, получим‖∆x‖ ≤ ∥ (I +A −1 ∆A ) −1 ∥ ( )∥·‖A −1 ‖· ‖∆A‖‖x‖+‖∆b‖ ,откуда после деления обеих частей на ‖x‖ > 0:‖∆x‖‖x‖≤ ∥ ∥ ( I +A −1 ∆A ) −1 ∥ ∥·‖A −1 ‖·(‖∆A‖+ ‖∆b‖ ).‖x‖8 В математической литературе для числа обусловленности матрицы A можновстретить также обозначения µ(A) или κ(A).9 От латинского словосочетания «a priori», означающего в философии знание,полученное до опыта и независимо от него.