С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

4.4. Классические методы решения уравнений 461Напомним, что отображение g : X → X метрического пространстваX с расстоянием dist : X → R + называется сжимающим (или простосжатием), если существует такая положительная постоянная α < 1,что для любой пары элементов x,y ∈ X имеет место неравенствоdist ( g(x),g(y) ) ≤ α·dist(x,y).Теорема 4.4.4 (теорема Банаха о неподвижной точке). Сжимающееотображение g : X → X полного метрического пространства X всебя имеет единственную неподвижную точку. Она может бытьнайдена методом последовательных приближенийx (k+1) ← g(x (k) ), k = 0,1,2,...,при любом начальном приближении x (0) ∈ X.Доказательство этого результата можно найти, к примеру, в [17].Особенно ценен в теореме Банаха её конструктивный характер, позволяющийорганизовать численные методы для нахождения неподвижнойточки.Иногда бывает полезно работать с векторнозначным расстоянием —мультиметрикой, — которая вводится на R n как⎛ ⎞Dist(x,y) :=⎜⎝dist(x 1 ,y 1 ).dist(x n ,y n )⎟⎠ ∈ Rn + . (4.13)Для мультиметрических пространств аналогом теоремы Банаха онеподвижной точке для сжимающих отображений является приводимаяниже теорема Шрёдера о неподвижной точке. Перед тем, как датьеё точную формулировку, введёмОпределение 4.4.1 Отображение g : X → X мультиметрическогопространства X с мультиметрикой Dist : X → R n + называетсяP-сжимающим (или просто P-сжатием), если существует неотрицательнаяn×n-матрица P со спектральным радиусом ρ(P) < 1, такаячто для всех x, y ∈ X имеет местоDist ( g(x),g(y) ) ≤ P ·Dist(x,y). (4.14)