С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.2. Интерполирование функций 61=y kk∏(x k −x l )l=0l≠k+∑k−1j=0y j(x j −x k ) k−1 ∏(x j −x l )l=0l≠j=k∑j=0y jk∏(x j −x l )l=0l≠j= (y 0 ,y 1 ,...,y k ) ∠в силу представления, доказанного в Предложении 2.2.1. ОкончательноP n (x) =y 0 +(y 0 ,y 1 ) ∠ (x−x 0 )+(y 0 ,y 1 ,y 2 ) ∠ (x−x 0 )(x−x 1 )+...+(y 0 ,y 1 ,y 2 ,...,y n ) ∠ (x−x 0 )(x−x 1 )···(x−x n−1 ).Выражение в правой части этого равенства называется интерполяционнымполиномом в форме Ньютона, или просто интерполяционнымполиномом Ньютона. Оно является равносильной формой записиинтерполяционного полинома, широко применяемой в ситуациях, гдеиспользование формы Лагранжа по тем или иным причинам оказываетсянеудобным. Полезно иметь в виду следующее представление 4P n (x) = P k (x)+(y 0 ,y 1 ,...,y k+1 ) ∠ (x−x 0 )···(x−x k ) (2.22)+...+(y 0 ,y 1 ,...,y n ) ∠ (x−x 0 )···(x−x n−1 ),справедливое для любого k, такого что 0 ≤ k ≤ n−1.Пусть f — вещественная n-гладкая функция. С учётом результатаПредложения 2.2.2, т. е. равенстваf ∠ (x 0 ,x 1 ,...,x n ) = 1 n! f(n) (ξ),хорошо видно, что интерполяционный полином Ньютона для гладкойфункции непрерывного аргумента является прямым аналогом формулыТейлора (полинома Тейлора)f(x 0 )+f ′ (x 0 )(x−x 0 )+ f′′ (x 0 )2!(x−x 0 ) 2 +...+ f(n) (x 0 )n!(x−x 0 ) n .4 Образно выражаясь, оно показывает, как интерполяционные полиномы Ньютонаразных степеней вложены друг в друга наподобие «матрёшек».