С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.10. Приближение функций 1252.10в Задача приближенияв евклидовом пространствеРассмотрим подробно важный частный случай задачи о наилучшемприближении (2.88), в котором• класс F — линейное нормированное пространство функций, накотором задано скалярное произведение 〈·,·〉, и с его помощьюнорма в F определяется как ‖f‖ = √ 〈f,f〉,• класс функций G ⊆ F, из которого выбирается искомый элементнаилучшего приближения, является конечномерным подпространствомв F.Напомним, что конечномерные линейные векторные пространства,в которых определено скалярное произведение, называются евклидовымипространствами. Бесконечномерные линейные векторные пространствасо скалярным произведением называются гильбертовымипространствами при дополнительном условии полноты, т. е. существованияв них предела всякой фундаментальной последовательности относительнонормы, порождённой этим скалярным произведением. Гильбертовыпространства являются ближайшим обобщением пространствс привычной нам геометрией.В условиях постановки задачи, описанной в начале раздела, будемпредполагать, что известен {ϕ j } m j=1 — базис m-мерного линейного подпространстваG ⊆ F. Мы ищем приближение g для элемента f ∈ F ввидеm∑g = c j ϕ j . (2.91)j=1где c j , j = 1,2,...,m — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.Если через Φ обозначить квадрат нормы отклонения f от g,то имеемΦ = ‖f −g‖ 2 = 〈f −g,f −g〉= 〈f,f〉−2〈f,g〉+〈g,g〉m∑ m∑ m∑= 〈f,f〉−2 c j 〈f,ϕ j 〉+ c j c k 〈ϕ j ,ϕ k 〉. (2.92)j=1j=1 k=1