С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.11. Полиномы Лежандра 135следует, что такие полиномы существуют и единственны с точностьюдо постоянного множителя. Нормирование полиномов Лежандра обычновыполняют различными способами, подходящими для той или инойзадачи.Применяя к степеням 1, x, x 2 , x 3 , . . . последовательно формулыортогонализации (2.101)–(2.102) со скалярным произведением (2.99) наинтервале [−1,1], получим1, x, x 2 − 1 3 , x3 − 3 5x, ... (2.103)(два первых полинома оказываются изначально ортогональными).Часто в качестве альтернативного представления для полиномовЛежандра используют формулу РодригаL n (x) = 12 n n!d ndx n (x 2 −1 ) n, n = 0,1,2,... . (2.104)Очевидно, что функция L n (x), определяемая этой формулой, являетсяалгебраическим полиномом n-ой степени со старшим коэффициентом,не равным нулю, так как приn-кратном дифференцировании полинома(x 2 −1) n = x 2n −nx 2(n−1) +...+(−1) n степень понижается в точностина n. Коэффициент 1/(2 n n!) перед производной в (2.104) взят с тойцелью, чтобы удовлетворить условию L n (1) = 1. Всюду далее посредствомL n (x) мы будем обозначать полиномы Лежандра, определяемыеформулой (2.104).Предложение 2.11.1 Полиномы L n (x), n = 0,1,..., задаваемые формулойРодрига (2.104), ортогональны друг другу в смысле скалярногопроизведения на L 2 [−1,1] с единичным весом. Более точно,⎧∫ 1 ⎨ 0, если m ≠ n,L m (x)L n (x)dx =−1 ⎩ 2, если m = n.2n+1Доказательство. Обозначаяможно заметить, чтоψ(x) = (x 2 −1) n ,ψ (k) (x) = dkdx k (x 2 −1 ) n= 0 при x = ±1, k = 0,1,2,...,n−1.