С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.7. Методы на основе ортогональных преобразований 311x 20 x 1Рис. 3.17. Подходящим вращением можно занулитьлюбую из компонент двумерного вектора.Аналогично может быть занулена первая компонента вектора a, путёмдомножения на такую матрицу вращения, чтоcosθ = a 2‖a‖ 2, sinθ = a 1‖a‖ 2.В общем случае умножение любой матрицы A = (a ij ) слева наматрицу вращения G(k,l,θ) приводит к тому, что в их произведенииà = (ã ij ) := G(k,l,θ)A строки k-ая и l-ая становятся линейными комбинациямистрок с этими же номерами из A:ã kj ← a kj cosθ − a lj sinθ,ã lj ← a kj sinθ + a lj cosθ,(3.82)j = 1,2,...,n. Остальные элементы матрицы à совпадают с элементамиматрицы A. Из рассуждений предшествующего абзаца вытекает,что путём специального подбора угла θ можно всегда занулить элементв произвольной наперёд заданной позиции k-ой или l-ой строкиматрицы à = G(k,l,θ)A.Как следствие, любая квадратная матрица A может быть приведенак правому треугольному виду с помощью последовательности умноженийслева на матрицы вращения. Более точно, мы можем один задругим занулить поддиагональные элементы первого столбца, потомвторого, третьего и т. д., аналогично тому, как это делалось в методе