С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.3. Полиномы Чебышёва 69этой формулы на всей вещественной оси, а не только для значенийаргумента x ∈ [−1,1].Представление (2.27), в действительности, справедливо для любыхx ∈ R, если под arccosx понимать комплексное значение и, соответственно,рассматривать косинус от комплексного аргумента. Можнопоказать, чтоT n (x) = ch(n archx), (2.28)где chz = 1 2 (ez + e −z ) — гиперболический косинус, а arch — обратнаяк нему функция. Определение (2.28) удобно применять для вещественныхаргументов x, таких что |x| ≥ 1.Предложение 2.3.1 Функция T n (x), задаваемая формулой (2.27), —полином степениn, и его старший коэффициент при n ≥ 1 равен 2 n−1 .Доказательство. Мы проведём его индукцией по номеру n полиномаЧебышёва. При n = 0 имеем T 0 (x) = 1, при n = 1 справедливо T 1 (x) =x, так что база индукции установлена.Далее, из известной тригонометрической формулы( ) ( ) α+β α−βcosα+cosβ = 2 cos cos2 2следует, чтоcos ( (n+1)arccosx ) +cos ( (n−1)arccosx )Следовательно, в силу (2.27)= 2 cos(narccosx) cos(arccosx)= 2x cos(narccosx).T n+1 (x) = 2xT n (x)−T n−1 (x) (2.29)для любых n = 1,2,....Таким образом, если T n−1 (x) и T n (x) являются полиномами степени(n − 1) и n соответственно, то T n+1 (x) — также полином, степенькоторого на единицу выше степени T n (x), а старший коэффициент — в2 раза больше. Полученные в доказательстве рекуррентные формулы (2.29) позволяютпоследовательно выписывать явные алгебраические выражения