С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

216 3. Численные методы линейной алгебрыA ∗ A и AA ∗ различны: первая из них — это n × n-матрица, а втораяm×m-матрица. Соответственно, количество собственных чисел у нихбудет различным.Известно, что ранг произведения матриц не превосходит наименьшегоиз рангов перемножаемых матриц (см. [9, 23, 50]). Отсюда следует,что если m < n, то n × n-матрица A ∗ A имеет неполный ранг, не превосходящийm, а потому её собственные числа с (m +1)-го по n-ое —заведомо нулевые. Аналогично, если m > n, то неполный ранг, которыйне превосходит n, имеет m × m-матрица AA ∗ , и её собственныечисла с (n + 1)-го по m-ое равны нулю. Таким образом, для m × n-матрицы содержательный смысл имеет рассмотрение лишь min{m,n}штук сингулярных чисел, что устраняет вышеотмеченную кажущуюсянеоднозначность.Другой неочевидный момент формулировки Предложения 3.2.4 —взаимоотношение собственных чисел матриц A ∗ A и AA ∗ . Здесь можновспомнить доказанный выше общий результат линейной алгебры— Предложение 3.2.1, — о совпадении ненулевых точек спектра произведенийдвух матриц, взятых в различном порядке. Впрочем, длячастного случая матриц A ∗ A и AA ∗ этот момент будет обоснован вследующем ниже доказательстве.Доказательство. Умножая обе части второго уравнения из (3.8) на σ,получим A ∗ (σy) = σ 2 x. Затем подставим сюда значение σy из первогоуравнения (3.8): A ∗ Ax = σ 2 x.С другой стороны, умножая на σ обе части первого уравнения (3.8),получим A(σx) = σ 2 y. Подставив сюда значение σx из второго уравнения(3.7), получим AA ∗ y = σ 2 y. Иными словами, числа σ 2 являютсясобственными числами как для A ∗ A, так и для AA ∗ .Покажем теперь, что собственные значения у матриц A ∗ A и AA ∗неотрицательны, чтобы иметь возможность извлекать из них квадратныекорни для окончательного определения σ. Очевидно, это достаточносделать лишь для одной из выписанных матриц, так как для другойрассуждения совершенно аналогичны.Коль скоро матрица A ∗ A эрмитова, любое её собственное значениеλ вещественно. Кроме того, если u — соответствующий собственныйвектор, то 0 ≤ (Au) ∗ (Au) = u ∗ (A ∗ Au) = u ∗ λu = λu ∗ u, откуда в силуu ∗ u > 0 следует λ ≥ 0.Для завершения доказательства осталось продемонстрировать, чтоарифметические квадратные корни из собственных значений матриц