С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.8. Численное дифференцирование 101Это значение можно взять за приближение к производной от рассматриваемойфункции на интервале ]x i−1 ,x i [ , i = 1,2,...,n.Во внутренних узлах сетки — x 1 , x 2 , . . . , x n−1 , — т. е. там, где встречаютсядва подинтервала, производную можно брать по любой из возможныхформулf ′ (x i ) ≈ f x,i := f i −f i−1x i −x i−1— разделённая разность назад, (2.61)f ′ (x i ) ≈ f x,i := f i+1 −f ix i+1 −x i— разделённая разность вперёд. (2.62)Обе они примерно равнозначны и выбор конкретной из них может бытьделом соглашения, удобства или целесообразности. Например, от направленияэтой разности может решающим образом зависеть устойчивостьразностных схем для численного решения дифференциальныхуравнений.Построим теперь интерполяционные полиномы Лагранжа второйстепени по трём соседним точкам сетки x i−1 , x i , x i+1 , i = 1,2,...,n−1.ИмеемP 2,i (x) =(x−x i )(x−x i+1 )(x i−1 −x i )(x i−1 −x i+1 ) f i−1 + (x−x i−1)(x−x i+1 )(x i −x i−1 )(x i −x i+1 ) f i+(x−x i−1 )(x−x i )(x i+1 −x i−1 )(x i+1 −x i−1 ) f i+1Поэтому= x2 −(x i +x i+1 )x+x i x i+1(x i−1 −x i )(x i−1 −x i+1 )f i−1+ x2 −(x i−1 +x i+1 )x+x i−1 x i+1(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )+ x2 −(x i−1 +x i )x+x i−1 x i(x i+1 −x i−1 )(x i+1 −x i )f i+1 .P ′ 2,i (x) = 2x−(x i +x i+1 )(x i−1 −x i )(x i−1 −x i+1 ) f i−1 + 2x−(x i−1 +x i+1 )(x i −x i−1 )(x i −x i+1 ) f i+2x−(x i−1 +x i )(x i+1 −x i−1 )(x i+1 −x i ) f i+1.f i