С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

392 3. Численные методы линейной алгебрыкроме того, собственные векторы симметричных матриц ортогональныдруг другу. Как следствие, матрица собственных векторов V можетбыть взята ортогональной, с числом обусловленности 1. Получаемследующий результат: если λ i (A) — собственные числа симметричнойматрицы A, а ˜λ — собственное число возмущённой матрицы A+∆A,тоmini∣ ∣˜λ−λi (A) ∣ ∣ ≤ ‖∆A‖2 .Иными словами, при возмущении симметричных матриц их собственныечисла изменяются на величину, не превосходящую спектральнойнормы возмущения, т. е. гораздо более умеренно, чем для матриц общеговида.Предложение 3.16.1 Матрицы простой структуры образуют открытоевсюду плотное подмножество во множестве всех квадратныхматриц.Набросок доказательства таков: если для произвольного малого ε кканонической жордановой форме n ×n-матрицы прибавить возмущающуюматрицу вида diag{ε,ε/2,ε/3,...,ε/n}, то получающаяся треугольнаяматрица будет иметь различные собственные числа, т. е. сделаетсядиагонализуемой. Требуемое возмущение исходной матрицы мыможем получить изdiag{ε,ε/2,ε/3,...,ε/n} путём преобразования подобия,обратного по отношению к тому, которое переводит исходнуюматрицу к жордановой нормальной форме.Как следствие, матрицы с нелинейными элементарными делителями,которые соответствуют жордановым клеткам размера 2 и более,составляют множество первой бэровской категории во множестве всехматриц. Подобные множества, называемые также тощими, являютсяв топологическом смысле наиболее разреженными и бедными множествами(см. [18, 48]). Но на долю таких матриц приходятся главныетрудности, с которыми сталкиваются при решении проблемы собственныхзначений. В этом отношении задача нахождения сингулярных чисели сингулярных векторов является принципиально другой, так каксимметричная матрица A ⊤ A (эрмитова матрица A ∗ A в комплексномслучае) всегда имеет простую структуру, т. е. диагонализуема.3.16в Коэффициенты перекоса матрицыЦелью этого пункта является детальное исследование устойчивостирешения проблемы собственных значений в упрощённой ситуации,