С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.15. Сходимость квадратур 1870.030.02c k0.01k0 48 96Рис. 2.25. Зависимость весовых коэффициентовот номера для квадратуры Гаусса 96-го порядкаВ формулировке теоремы фигурирует величинаn∑∣∣ ck∣, (2.142)k=0— сумма абсолютных значений весов, которая, как мы видели в §2.12а,является коэффициентом увеличения погрешности в данных и играеточень важную роль при оценке качества различных квадратурныхформул. В §2.12д уже упоминался результат Р.О. Кузьмина [48] о том,что для формул Ньютона-Котеса величина (2.142) неограниченно увеличиваетсяс ростом числа узлов n. Как следствие, на произвольныхнепрерывных функциях эти квадратурные формулы сходимостью необладают.Для квадратурных формул Гаусса ситуация другая. СправедливоПредложение 2.15.1 Весовые коэффициенты квадратурных формулГаусса положительны.Доказательство. Ранее мы уже выводили для весов интерполяционныхквадратурных формул выражение (2.122). Зафиксировав индексi ∈ {1,2,...,n}, дадим другое явное представление для весового коэффициентаc i квадратурной формулы Гаусса, из которого и будет следоватьдоказываемое предложение.Пусть x 1 , x 2 , . . . , x n — узлы квадратурной формулы Гаусса на интервалеинтегрирования [a,b]. Так как формулы Гаусса имеют алгебраическуюстепень точности 2n−1, то для полиномаΠ i (x) = ( (x−x 1 )···(x−x i−1 )(x−x i+1 )···(x−x n ) ) 2