С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

2.13. Квадратурные формулы Гаусса 173где q(x) и r(x) — соответственно частное и остаток от деления f(x)на ω(x). При этом полином q(x) имеет степень (2n−1)−n = n−1, астепень полинома-остатка r(x) по определению меньше степени ω(x),т. е. не превосходит n−1. Отсюда∫ baf(x)dx =∫ baω(x)q(x)dx+∫ bar(x)dx =∫ bar(x)dx (2.134)в силу сделанного нами предположения об ортогональности ω(x) всемполиномам степени не выше n−1.Но по условиям теоремы рассматриваемая квадратурная формулаявляется интерполяционной и построена по n узлам. Поэтому онаявляется точной на полиномах степени n − 1 (см. Теорему 2.12.1), вчастности, на полиноме r(x). Следовательно,∫ bar(x)dx =n∑k=1c k r(x k ) =n∑ (c k ω(xk )q(x k )+r(x k ) )k=1в силу равенств ω(x k ) = 0=n∑k=1c k f(x k ), поскольку имеет место (2.133).Итак, сравнивая результаты этой выкладки с (2.134), будем иметь∫ baf(x)dx =n∑c k f(x k ),k=1т. е. исследуемая квадратурная формула действительно является точнойна полиномах степени 2n−1.Подведём промежуточные итоги. Процедура построения квадратурныхформул Гаусса разделена нами на две отдельные задачи нахожденияузлов и вычисления весов. В свою очередь, узлы квадратурнойформулы, как выясняется, можно взять корнями некоторых специальныхполиномов ω(x), удовлетворяющих условиям Теоремы 2.13.1. Вэтих полиномах легко угадываются знакомые нам из §2.11 ортогональныеполиномы, которые являются полиномами Лежандра для случая[a,b] = [−1,1] или соответствующим образом преобразованы из них дляпроизвольного интервала интегрирования [a,b].