С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

62 2. Численные методы анализаПри этом аналогами степеней переменной (x−x 0 ) k являются произведения(x−x 0 )(x−x 1 )···(x−x k ), которые в случае равномерно расположенныхи упорядоченных по возрастанию узлов x 0 , x 1 , . . . , x k частоназывают обобщённой степенью [9].Практическое нахождение интерполяционного полинома Ньютонатребует знания всех разделённых разностей функции, и наиболее удобновычислять их всё-таки по рекуррентным формулам (2.15)–(2.17).Важнейший частный случай интерполирования относится к равномерномурасположению узлов, когда величина h i = x i −x i+1 постояннаи не зависит от i. Тогда вычисление разделённых разностей решительноупрощается, сводясь к оперированию с так называемыми конечнымиразностями. По определению конечной разностью (иногда добавляют— первого порядка) от функции f в точке x называется величина∆y = ∆f(x) = f(x+h)−f(x).В частности, можно считать, что ∆x = h. Конечные разности второгопорядка ∆ 2 f(x) — это конечные разности от конечных разностей, идалее рекуррентно.Таблица 2.1. Горизонтальная таблицаконечных разностей функцииx y ∆y ∆ 2 y ... ∆ n yx 0 y 0 ∆y 0 ∆ 2 y 0 ... ∆ n y 0x 1 y 1 ∆y 1 ∆ 2 y 1 ... ∆ n y 1x 2 y 2 ∆y 2 ∆ 2 y 2 ... ∆ n y 2..... .. .Интерполяционный полином Ньютона для равномерно расположен-