С.П. Шарый - Институт вычислительных технологий СО РАН

3.17. Численные методы для проблемы собственных значений 405В качестве приближённого собственного значения матрицы A можнопри этом взять «отношение» двух последовательных векторов, порождённыхнашим процессом — x (k+1) = A k+1 x (0) и x (k) = A k x (0) ,k = 0,1,2,.... Слово «отношение» взято здесь в кавычки потому, чтоупотреблено не вполне строго: ясно, что векторы x (k+1) и x (k) могутоказаться неколлинеарными, и тогда их «отношение» смысла иметь небудет. Возможны следующие пути решения этого вопроса:1) рассматривать отношение каких-нибудь фиксированных компонентвекторов x (k+1) и x (k) , т. е.для некоторого i ∈ {1,2,...,n};x (k+1)i/x (k)i(3.143)2) рассматривать отношение проекций последовательных приближенийx(k+1) иx (k) на направление, задаваемое каким-нибудь векторомl (k) , т. е.〈x (k+1) ,l (k) 〉〈x (k) ,l (k) 〉 . (3.144)Во втором случае мы обозначили направление проектирования черезl (k) , чтобы подчеркнуть его возможную зависимость от номера шага k.Ясно также, что это направление l (k) не должно быть ортогональнымвектору x (k) , чтобы не занулился знаменатель в (3.144).Последний способ кажется более предпочтительным в вычислительномотношении, поскольку позволяет избегать капризного поведения водной отдельно взятой компоненте вектора x (k) , когда она может сделатьсяочень малой по абсолютной величине или совсем занулиться,хотя в целом вектор x (k) будет иметь значительную длину. Наконец, вкачестве вектора, задающего направление проектирования во второмварианте, естественно взять сам x (k) , вычисляя на каждом шаге отношение〈x (k+1) ,x (k) 〉〈x (k) ,x (k) 〉 , (3.145)где x (k) = A k x (0) . Нетрудно увидеть, что это выражение совпадает сотношением Рэлея для приближения x (k) к собственному вектору.Для организации вычислительного алгоритма степенного методатребуется разрешить ещё два тонких момента, связанных с реализациейна ЭВМ.